§ 1. Правило суммы для конечных множеств

Рассмотрим конечные множества А и В, т.е. множества, содержащие конечное число элементов.

Правило суммы (задается как аксиома) состоит в следующем: число элементов объединения непересекающихся конечных множеств А и В равно сумме числа элементов этих множеств. Кратко можно записать:

если $ А ∩ В=∅,$ то $n(А∪ В)=n(А)+n(В).$

Иными словами: если А можно выбрать n способами, а В m способами, то выбор А либо В можно осуществить n+m способами, если выборы А и В взаимно исключают друг друга.

Рассмотрим теперь случай, когда А∩В ≠ ∅. Докажем, что в этом случае получим:

$ n(А∪ В) = n(А) + n(В) - n(А∩ В). $

Очевидно, имеем:

$А=(А∩\overline{В})∪(А∩В) и (А∩\overline{В})∩ (А∩В)= ∅;$

$В=(\overline{A}∩В)∪(А∩В) и (\overline{A}∩В)∩ (А∩В)= ∅$

Тогда, используя правило суммы, получим следующее:

$n(A) = n(A∩\overline{В}) + n (A∩В)$

$n(B) = n(\overline{A}∩В) + n (A∩В)$

$n(A)+n(B) = n(A∩\overline{B}) + n(\overline{A}∩В)+n(A∩В)+n(A∩В)$ = $n(A∪В)+n(A∩В)$

следовательно, n(А∪В)=n(А)+n(В)-n(А∩В), что и требовалось доказать.

Для трех множеств можно получить:

$n(А∪В∪С)=n(А)+n(В)+n(С)-n(А∩В)-n(А∩С)-n(В∩С)+n(А∩В∩С)$

В общем случае по индукции можно получить следующую формулу (правило):

$n(А1∪А2∪…∪Аk)=n(А1)+n(А2)+…+n(Аk)-$
$-n(А1∩А2)-n(А1∩А3)-…-n(Ак-1∩Аk)+$
$+n(А1∩А2∩А3)+…+ n(Аk-2∩Аk-1∩Аk)$
$ +…+(-1)k-1n(А1∩А2∩…∩Аk)$

которое называется обобщенным правилом суммы.