§ 4. Биноминальная теорема

Теорема 4.1. (Биноминальная теорема). Для произвольных чисел а, b и целого положительного n имеет место соотношение:

$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n C_n^i a^{n-i} b^i$

Формула (4.6) называется биномом Ньютона или биноминальной формулой (теоремой).

Доказательство теоремы проведем методом математической индукции. Для n=1 имеем:

$a+b=1•a+1•b=C_1^0a + C_1^1b=\sum_{i=0}^1 C_n^i a^{n-i}b^i$

Пусть равенство (4.6) истинно для n=k, k≥1. Докажем, что тогда (4.6) истинно и для k+1. Имеем:

$(a+b)^{k+1}=(a+b)^k(a+b)=(a+b)^k a+(a+b)^kb=$

$\sum_{i=0}^k C_k^i a^{i+1} b^{k-i} + \sum_{i=0}^k C_k^i a^i b^{k+1-i}=$

$a^{k+1} + \sum_{i=0}^{k-1} a^i b^{k+1-i} (C_k^{i-1 + C_k^i}) + b^{k+1} =$

$a^{k+1} + \sum_{i=1}^k C_{k+1}^i a^i b^{k+1-i} + b^{k+1} =$

$\sum_{i=0}^{k+1} C_{k+1}^i a^i b^{k+1-i}$

Теорема доказана.

Из равенства (4.6) легко следует: если а=1, b=-1, то $\sum_{i=0}^n(-1)^i C_n^i =0$ если а=1, b=1, то $\sum_{i=0}^n C_n^i =2^n$

Из последнего соотношения легко получить число всевозможных подмножеств конечного множества А. Действительно, пусть n(А)=n. Очевидно:

• число одноэлементных подмножеств множества А равно числу $C_n^1$
• число двухэлементных подмножеств множества А равно числу $C_n^2$
• …;
• число k элементных (1≤ k≤ n) подмножеств множества А равно числу $C_n^k$

Учитывая, что есть еще пустое подмножество (содержащее 0 элементов), получим, что число всевозможных подмножеств множества А равно:

$n(2^A)=C_n^0 + C_n^1 +C_n^2+...+C_n^n =\sum_{i=0}^r C_n^r = 2^n$

Итак, $n(2^A) = 2^n$